Электричество и магнетизм
ЛЕКЦИЯ 11
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электрический заряд
Большое количество явлений в природе связано с проявлением особого свойства эле-ментарных частиц вещества - наличия у них электрического заряда. Эти явления были названы электрическими и магнитными.
Слово «электричество» происходит от греческого hlectron - электрон (янтарь). Способность натертого янтаря приобретать заряд и притягивать легкие предметы была отмечена еще в древней Греции.
Слово «магнетизм» происходит от названия города Магнезия в Малой Азии, вблизи которого были открыты свойства железной руды (магнитного железняка FеО∙Fе 2 О 3) притягивать железные предметы и сообщать им магнитные свойства.
Учение об электричестве и магнетизме распадается на разделы:
а) учение о неподвижных зарядах и свя-занных с ними неизменных электрических полях - электростатика;
б) учение о равномерно движущихся заря-дах – постоянный ток и магнетизм;
в) учение о неравномерно движущихся зарядах и создаваемых при этом переменных полях - переменный ток и электродинамика, или теория электромагнитного поля.
Электризация трением
Стеклянная палочка, натертая кожей, или эбонитовая палочка, натертая шерстью, при-обретают при этом электрический заряд или, как говорят, электризуются.
Бузиновые шарики (рис.11.1), к которым прикоснулись стек-лянной палочкой, отталкиваются. Если к ним прикоснуться эбонитовой палочкой, они также отталки-ваются. Если же к одному из них прикоснуться эбонитовой, а к другому стеклянной палочкой, то они притянутся.
Следовательно, существуют два типа электрических зарядов. Заряды, возникающие на потертом кожей стекле, условились назы-вать положительными (+). Заряды, возникаю-щие на потертом шерстью эбоните, услови-лись называть отрицательными (-).
Опыты показывают, что одноименные заряды (+ и +, либо – и -) отталкиваются, разноименные (+ и -) притягиваются.
Точечным зарядом называется заряжен-ное тело, размерами которого можно прене-бречь по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается воздействие этого заряда на другие заряды. Точечный заряд является абстракцией подобно материальной точке в механике.
Закон взаимодействия точечных
Зарядов (закон Кулона)
В 1785 г. французский ученый Огюст Кулон (1736-1806) на основании опытов с крутильными весами, на конце коромысла ко-торых помещались заряженные тела, а затем к ним подносились другие заряженные тела, установил закон, определяющий силу взаимо-действия двух неподвижных точечных зарядов Q 1 и Q 2 ,расстояние между которыми r .
Закон Кулона в вакууме гласит: сила взаимодействия F между двумя неподвиж-ными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q 1 и Q 2 и обратно пропорциональна квадрату расстоя-ния r между ними:
,
где коэффициент k зависит от выбора системы единиц и свойств среды, в которой осуществляется взаимодействие зарядов.
Величина, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данном диэлектрике меньше силы взаимодействия между ними в вакууме, называется относительной диэлектрической проницаемостью среды e .
Закон Кулона для взаимодействия в среде : сила взаимодействия между двумя точечными зарядами Q 1 и Q 2 прямо пропор-циональна произведению их величин и обрат-но пропорциональна произведению диэлек-трической проницаемости среды e . на квадрат расстояния r между зарядами:
.
В системе СИ 
, где e 0 –диэлект-рическая проницаемость вакуума, или элект-рическая постоянная. Величина e
0 относится к числу фундаментальных физических пос-тоянных
и равна e
0 =8,85∙10 -12 Кл 2 /(Н∙м 2), или e
0 =8,85∙10 -12 Ф/м, где фарад
(Ф) - единица электрической емкости. Тогда 
.
С учетом k закон Кулона запишется в окончательном виде:
,
где ee 0 =e а - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
Закон Кулона в векторной форме .
,
где F 12 - сила, действующая на заряд Q 1 со стороны заряда Q 2 , r 12 - радиус-вектор, соединяющий заряд Q 2 с зарядом Q 1, r =|r 12 | (рис.11.1).
На заряд Q 2 со стороны заряда Q 1 действует сила F 21 =-F 12 , т.е. справедлив 3-й закон Ньютона.
11.4. Закон сохранения электрического
Заряда
Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, экспериментально подтвержденный в 1843 г. английским физиком Майклом Фарадеем (1791-1867), - закон сохранения заряда .
Закон гласит: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой сис-темы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы:
.
Закон сохранения электрического заряда выполняется строго как в макроскопических взаимодействиях, например при электри-зации тел трением, когда оба тела заряжаются численно равными зарядами противополож-ных знаков, так и в микроскопических взаимодействиях, в ядерных реакциях.
Электризация тела через влияние
(электростатическая индукция
).
При поднесении к изолированному проводнику заряженного тела происходит разделение зарядов на проводнике (рис. 79).
Если индуцированный на удаленном конце проводника заряд отвести в землю, а затем, сняв предварительно заземление, убрать заряженное тело, то оставшийся на проводнике заряд распределится по провод-нику.
Опытным путем (1910-1914) американс-кий физик Р. Милликен (1868-1953) показал, что электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е (е =1,6∙10 -19 Кл). Электрон (т е = 9,11∙10 -31 кг) и протон (m p =1,67∙10 -27 кг) являются соответст-венно носителями элементарных отрицатель-ного и положительного зарядов.
Электростатическое поле.
Напряженность
Неподвижный заряд Q неразрывно свя-зан с электрическим полем в окружающем его пространстве. Электрическое поле представляет собой особый вид материи и является материальным носителем взаимо-действия между зарядами даже в случае отсутствия вещества между ними.
Электрическое поле заряда Q действует с силой F на помещаемый в какую-либо из точек поля пробный заряд Q 0 .
Напряженность электрического поля. Вектор напряженности электрического поля в данной точке - физическая величина, определяемая силой, действующей на проб-ный единичный положительный заряд, поме-щенный в эту точку поля:
.
Напряженность поля точечного заряда в вакууме
.
Направление вектора Е совпадает с напра-влением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заря-да); если поле создается отрицательным заря-дом, то вектор Е направлен к заряду (рис. 11.3).
Единица напряжен-ности электрического поля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл – напря-женность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл=1 В/м, где В (вольт) - единица потенциала электростатического поля.
Линии напряженности .
Линии, касательные к которым в каждой их точке совпадают по направлению с вектором напряженности в этой точке, называются линиями напряженности
(рис.11.4).
Напряженность поля точечного заряда q на расстоянии r от него в системе СИ:
.
Линии напряженности поля точечного заряда представляют собой лучи, выходящие из точки, где помещен заряд (для положите-льного заряда), или входящие в нее (для отрицательного заряда) (рис.11.5,а, б).
Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой (см. рис.11.4): число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е
. Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS,
нормаль n кото-рой образует угол a с векто-ром Е
, равно E
dScos
a=E n
dS,
где Е
n - проекция вектора Е
на нормаль n
к площадке dS
(рис.11.6). Величина
называется потоком вектора напряжен-ности через площадку dS. Единица потока вектора напряженности электростатического поля - 1 В∙м.
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверхность
, (11.5)
где интеграл берется по замкнутой поверх-ности S. Поток вектора Е является алгебраи-ческой величиной: зависит не только от конфигурации поля Е , но и от выбора направления n .
Принцип суперпозиции электрических
Полей
Если электрическое поле создается заря-дами Q 1 , Q 2 , … , Q n , то на пробный заряд Q 0 действует сила F равная векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q i :
.
Вектор напряженности электрического поля системы зарядов равен геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
.
Эта принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей .
Принцип гласит : напряженность Е результирующего поля, создаваемого систе-мой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рассчи-тать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.
Полей. Поле диполя
Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q 1 , Q 2 ,…, Q n .
Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q;.
Согласно (79.1), F = Q 0 E и F 1 = Q 0 E 1 , где Е - напряженность результирующего поля, а Е 1 - напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 . Подставляя последние выражения в (80.1), получаем
(80.2)
Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, - Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положи тельному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l. Вектор
(80.3)
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q|на плечо 1, называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом (рис. 122).
где Е + и Е_ - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна
Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через г, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать
Согласно определению диполя, l /2 ≪ г, поэтому
2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к осям из его середины, в точке В (рис. 123). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому
где г" - расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Е в, получим
(80.5)
Подставив в выражение (80.S) значение (80.4), получим
Вектор E g имеет направление, противоположное вектору электрического момента диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному).
Теорема Гаусса для электростатического
Поля в вакууме
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен
 |
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.
Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Бели замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e 0 , т. е.
(81.1)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е, полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому
Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q i /e 0 . Следовательно,
(81.2)
Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e 0 . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.
В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью p = dQ/dV, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,
(81.3)
Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так:
| , |
где = – вектор, по направлению совпадающий с нормалью к поверхности ( единичный вектор нормали к поверхности) и по модулю равный площади . Так как под интегралом стоит скалярное произведение векторов, то поток может получаться как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора направления вектора . Геометрически поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих данную площадку (см. рис.2.3.1).
Теорема Гаусса.
Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных
внутри этой поверхности, деленной на (в системе СИ)
| . (2.3.1) |
В случае замкнутой поверхности вектор выбирают от поверхности наружу.
Таким образом, если силовые линии выходят из поверхности, поток будет положительным, а если входят, то – отрицательным.
Расчет электрических полей с помощью теоремы Гаусса.
В ряде случаев напряженность электрического поля по теореме Гаусса рассчи-
тывается достаточно просто. Однако в основе лежит принцип суперпозиции.
Поскольку поле точечного заряда является центрально-симметричным, то поле
центрально-симметричной системы зарядов также будет центрально-симметричным. Простейший пример – поле равномерно заряженного шара. Если распределение заряда обладает осевой симметрией, то и структура поля будет отличаться осевой симметрией. Примером может служить бесконечная равномерно заряженная нить или цилиндр. Если заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости, то силовые линии поля будут располагаться симметрично относительно симметрии заряда. Таким образом, указанный метод расчета применяют в случае высокой степени симметрии распределения заряда, создающего поля. Далее приведем примеры расчета таких полей.
Электрическое поле однородно заряженного шара.
Шар радиуса равномерно заряжен с объемной плотностью . Рассчитаем поле внутришара .
Система зарядов центрально-симметричная. В
качестве поверхности интегрирования выберем
сферу радиуса r (r <R ), центр которой совпадает
с центром симметрии заряда (см. рис.2.3.2). Рассчитаем поток вектора через эту поверхность.
Вектор направлен по радиусу. Так как поле
обладает центральной симметрией, то
значение Е будет одинаково во всех точках
выбранной поверхности. Тогда
Теперь найдем заряд, заключенный внутри выбранной поверхности
Отметим, что, если заряд распределен не по всему объему шара, а лишь по его поверхности (задана заряженная сфера ), то напряженность поля внутри будет равна нулю .
Рассчитаем поле вне шара см. рис. 2.3.3.
Теперь поверхность интегрирования полностью охватывает весь заряд шара. Теорема Гаусса запишется в виде
Учтем, что поле центрально симметричное
Окончательно для напряженности поля снаружи заряженного шара получим
Таким образом, поле вне равномерно заряженного шара будет иметь такой же вид, как для точечного заряда, помещенного в центре шара. Тот же результат получим и для равномерно заряженной сферы.
Проанализировать полученный результат (2.3.2) и (2.3.3) можно с помощью графика рис.2.3.4.
Электрическое поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра.
Пусть бесконечно длинный цилиндр заряжен равномерно с объемной плотностью .
Радиус цилиндра равен . Найдем поле внутри цилиндра , как функцию
расстояния от оси. Поскольку система зарядов имеет осевую симметрию,
поверхностью интегрирования мысленно выберем также цилиндр меньшего
радиуса и произвольной высоты , ось которого совпадает с осью симметрии задачи (рис.2.3.5). Рассчитаем поток через поверхность этого цилиндра, разбив его на интеграл по боковой поверх-
ности и по основаниям
Из соображений симметрии
следует, что направлен радиально. Тогда, так как силовые линии поля не пронизывают ни одно из оснований выбранного цилиндра,то поток через эти поверхности равен нулю. Поток вектора через боковую поверхность цилиндра запишется:
Подставим оба выражения в исходную формулу теоремы Гаусса (2.3.1)
После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического поля внутри цилиндра
В этом случае также, если заряд распределен только по поверхности цилиндра, то напряженность поля внутри равна нулю.
Теперь найдем поле снаружи заряженного цилиндра
Мысленно выберем в качестве поверхности, через которую будем рассчитывать поток вектора , цилиндр радиуса и произвольной высоты (см. рис. 2.3.6).
Поток запишется так же как и для внутренней области. А заряд, заключенный внутри мысленного цилиндра, будет равен:
После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического
поля снаружи заряженного цилиндра:
Если ввести в этой задаче линейную плотность заряда, т.е. заряд на единице длины цилиндра , то выражение (2.3.5) преобразуется к виду
Что соответствует результату, полученному с помощью принципа суперпозиции (2.2.14).
Как видим зависимости в выражениях (2.3.4) и (2.3.5) разные. Построим график .
Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.
Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Силовые линии электрического поля симметричны относительно этой плоскости, а, следовательно вектор перпендикулярен заряженной плоскости. Мысленно выберем для интегрирования цилиндр произвольных размеров и расположим его как показано на рис.2.3.8. Запишем теорему Гаусса:) бывает удобно ввести скалярную характеристику изменения поля , называемую дивергенцией. Для определения этой характеристики выберем в поле малый объем вблизи некоторой точки Р и найдем поток вектора через поверхность, ограничивающую этот объем. Затем поделим полученную величину на объем и возьмем предел полученного отношения при стягивании объема к данной точке Р . Полученная величина называется дивергенцией вектора
. (2.3.7)
Из сказанного следует . (2.3.8)
Это соотношение носит название теорема Гаусса – Остроградского , оно справедливо для любого векторного поля.
Тогда из (2.3.1) и (2.3.8), принимая во внимание, что заряд, заключенный в объеме V, можно записать получим
или, так как в обеих частях уравнения интеграл берется по одному и тому же объему,
Это уравнение математически выражает теорему Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме.
Смысл операции дивергенция состоит в том, что она устанавливает наличие источников поля (источников силовых линий). Точки, в которых дивергенция не равна нулю, являются источниками силовых линий поля. Таким образом, силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.
Принцип суперпозиции (наложения) полей формулируется так:
Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля , напряженности которых и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна: .
Принцип суперпозиции полей справедлив для случая, когда поля, созданные несколькими различными зарядами, не оказывают никакого влияния друг на друга, т. е. ведут себя так, как будто других полей нет. Опыт показывает, что для полей обычных интенсивностей, встречающихся в природе, это имеет место в действительности.
Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряжен-ности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно воспользоваться выражением напряженности поля точечного заряда.
На рисунке ниже показано, как в точке A определяется напряжен-ность поля , созданная двумя точечными зарядами q 1 и q 2 .
Силовые линии электрического поля.
Электрическое поле в пространстве принято представлять силовыми линиями. Понятие о силовых линиях ввел М. Фарадей при исследовании магнетизма. Затем это понятие было развито Дж. Максвеллом в исследованиях по электромагнетизму.
Силовая линия, или линия напряженности электрического поля, — это линия, касательная к которой и каждой ее точке совпадает с направлением силы, действующей на положительный точечный заряд, находящийся в этой точке поля.
На рисунках ниже изображены линии напряженности положительно заряженного шарика (рис. 1); двух разноименно заряженных шариков (рис. 2); двух одноименно заряженных ша-риков (рис. 3) и двух пластин, заряженных разными по знаку, но одинаковыми по абсолютной величине зарядами (рис. 4).
Линии напряженности на последнем рисунке почти параллельны в пространстве между пластинами, и плотность их одинакова. Это говорит о том, что поле в этой области пространства одно-родно. Однородным называется электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства.
В электростатическом поле силовые линии не замкнуты, они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Они нигде не пересекаются, пересе-чение силовых линий говорило бы о неопределенности направления напряженности поля в точке пересечения. Плотность силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля больше.
Поле заряженного шара.
Напряженность поля заряженного про-водящего шара на расстоянии от центра шара , превышающем его радиус r
≥
R
. определяется по той же формуле, что и поля точечного заряда 
. Об этом свидетельствует распределение силовых линий (рис. а
), аналогичное распределению линий напряженности то-чечного заряда (рис. б
).
Заряд шара распределен равномерно по его поверхности. Внутри проводящего шара напряженность поля равна нулю.
Одна из задач, которые ставит электростатика перед собой – это оценка параметров поля при заданном стационарном распределении зарядов в пространстве. И принцип суперпозиции является одним из вариантов решения такой задачи.
Принцип суперпозиции
Предположим наличие трех точечных зарядов, находящихся во взаимодействии друг с другом. При помощи эксперимента возможно осуществить измерение сил, действующих на каждый из зарядов. Для нахождения суммарной силы, с которой на один заряд действуют два других заряда, нужно силы воздействия каждого из этих двух сложить по правилу параллелограмма. При этом логичен вопрос: равны ли друг другу измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, и совокупность сил со стороны двух иных зарядов, если силы рассчитаны по закону Кулона. Результаты исследований демонстрируют положительный ответ на этот вопрос: действительно, измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил согласно закону Кулона со стороны других зарядов. Данное заключение записывается в виде совокупности утверждений и носит название принципа суперпозиции.
Определение 1
Принцип суперпозиции :
- сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
- сила, действующая на точечный заряд со стороны двух других точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.
Принцип суперпозиции полей заряда является одним из фундаментов изучения такого явления, как электричество: значимость его сопоставима с важностью закона Кулона.
В случае, когда речь идет о множестве зарядов N (т.е. нескольких источников поля), суммарную силу, которую испытывает на себе пробный заряд q , можно определить по формуле:
F → = ∑ i = 1 N F i a → ,
где F i a → является силой, с которой влияет на заряд q заряд q i , если прочий N - 1 заряд отсутствует.
При помощи принципа суперпозиции с использованием закона взаимодействия между точечными зарядами существует возможность определить силу взаимодействия между зарядами, присутствующими на теле конечных размеров. С этой целью каждый заряд разбивается на малые заряды d q (будем считать их точечными), которые затем берутся попарно; вычисляется сила взаимодействия и в заключение осуществляется векторное сложение полученных сил.
Полевая трактовка принципа суперпозиции
Определение 2Полевая трактовка : напряженность поля двух точечных зарядов есть сумма напряженностей, создаваемым каждым из зарядов при отсутствии другого.
Для общих случаев принцип суперпозиции относительно напряженностей имеет следующую запись:
E → = ∑ E i → ,
где E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → является напряженностью i -го точечного заряда, r i → - радиусом вектора, проложенного от i -го заряда в некоторую точку пространства. Указанная формула говорит нам о том, что напряженность поля любого числа точечных зарядов есть сумма напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.
Инженерная практика подтверждает соблюдение принципа суперпозиции даже для очень больших напряженностей полей.
Значимым размером напряженности обладают поля в атомах и ядрах (порядка 10 11 - 10 17 В м), но и в этом случае применялся принцип суперпозиции для расчетов энергетических уровней. При этом наблюдалось совпадение результатов расчетов с данными экспериментов с большой точностью.
Все же следует также заметить, что в случае очень малых расстояний (порядка ~ 10 - 15 м) и экстремально сильных полей принцип суперпозиции, вероятно, не выполняется.
Пример 1
Например, на поверхности тяжелых ядер при напряженности порядка ~ 10 22 В м принцип суперпозиции выполняется, а при напряженности 10 20 В м возникают квантово-механические нелинейности взаимодействия.
Когда распределение заряда является непрерывным (т.е. отсутствует необходимость учета дискретности), совокупная напряженность поля задается формулой:
E → = ∫ d E → .
В этой записи интегрирование проводится по области распределения зарядов:
- при распределении зарядов по линии (τ = d q d l - линейная плотность распределения заряда) интегрирование проводится по линии;
- при распределении зарядов по поверхности (σ = d q d S - поверхностная плотность распределения) интегрирование проводится по поверхности;
- при объемном распределении заряда (ρ = d q d V - объемная плотность распределения) интегрирование проводится по объему.
Принцип суперпозиции дает возможность находить E → для любой точки пространства при известном типе пространственного распределения заряда.
Пример 2Заданы одинаковые точечные заряды q , расположенные в вершинах квадрата со стороной a . Необходимо определить, какая сила воздействует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.
Решение
На рисунке 1 проиллюстрируем силы, влияющие на любой из заданных зарядов в вершинах квадрата. Поскольку условием задано, что заряды одинаковы, для иллюстрации возможно выбрать любой из них. Сделаем запись суммирующей силы, влияющей на заряд q 1:
F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .
Силы F 12 → и F 14 → являются равными по модулю, определим их так:
F 13 → = k q 2 2 a 2 .
Рисунок 1
Теперь зададим направление оси О Х (рисунок 1), спроектируем уравнение F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → , подставим в него полученные выше модули сил и тогда:
F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
Ответ: сила, оказывающее воздействие на каждый из заданных зарядов, находящихся в вершинах квадрата, равна F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
Пример 3
Задан электрический заряд, распределенный равномерно вдоль тонкой нити (с линейной плотностью τ). Необходимо записать выражение, определяющее напряженность поля на расстоянии a от конца нити вдоль ее продолжения. Длина нити – l .
Рисунок 2
Решение
Первым нашим шагом будет выделение на нити точечного заряда d q . Составим для него, в соответствии с законом Кулона, запись, выражающую напряженность электростатического поля:
d E → = k d q r 3 r → .
В заданной точке все векторы напряженности имеют одинаковую направленность вдоль оси ОХ, тогда:
d E x = k d q r 2 = d E .
Условием задачи дано, что заряд имеет равномерное распределение вдоль нити с заданной плотностью, и запишем следующее:
Подставим эту запись в записанное ранее выражение напряженности электростатического поля, проинтегрируем и получим:
E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .
Ответ: напряженность поля в указанной точке будет определяться по формуле E = k τ l a (l + a) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter